设U*为一个未定向的n个顶点上的单圈混合图,它是由一个三角形在其某个顶点上附加n-3个悬挂边而获得.在文[Largest eigenvalue of a unicyclic mixed graph,Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities(Ser.B),2004,19(2):140-148]中,作者证明了:在相差符号同构意下,在所有n个顶点上的单圈混合图中,U*是唯一的达到最大Laplace谱半径的混合图.本文应用非负矩阵的Perron向量,给出上述结论的一个简单的证明.
让 G 是被它的边的 orienting 一些从一张未受指导的图获得的一张混合的图。分别地， G 的特征值和特徵向量被定义是 G 的拉普拉斯算符矩阵 L (G) 的那些。作为 L (G) 是积极的半明确， L (G) 的奇特被它的最少的特征值λ决定 1 (G) 。这篇论文介绍反映 L (G) 的奇特的新参数边奇特ε s (G) ，它是产生的图的所有部件是单个的删除收益的 G 的边的最小的数字。我们给在ε s (G) 和λ之间的一些不平等 1 (G)( 并且另外的参数) G。在ε s (G)= 的情况中 1，我们在相应于λ的 G 的特徵向量的结构上获得一个性质 1 (G) ，它类似于 Fiedler 给的一张简单的图的 Fiedler 向量的性质。
在这篇论文，有 t (2 ≤ t ≤ n ) 的图 G 的一个相等的条件不同拉普拉斯算符特征值被建立。由把这个条件用于 t = 3 如果 G 是常规的(必然强烈常规) ， G being 的一个相等的条件拉普拉斯算符积分被给。另外为 t = 的案例 3 如果 G 是非常规的， G 有直径 2，这被发现；尺寸至多 5 如果 G 不是一棵树。图 G 在它的是没有三角的情况中被描绘，由两部组成；没有五边形。在两个盒子中， G 是拉普拉斯算符积分。
