本文证明了如下结果:若在正整数集N上定义二元运算a■b=a(a,b)^(-1),则是一可换BCK一代数,其中(a,b)表示a与b的最大公因子。在此基础上还推广了前人关于Graham R L于1970年提出的一个猜想中的3个结果,证明了在下面任一情形下,Graham猜想都成立。即由a_1,a_2,…,a_n生成的的子代数是关联的;A中含一个P_-数P的幂P~*,且对A中任二互异的数a_i与a_j有a_i≠a_j P^k,其中k为任一正整数。
用算术函数a(n)表示n阶非同构Abel群的个数,令A_k(x)=sum from n≤x u(n)=k (1),A_k(x;h)=A_k(x+h)-A_k(x).在这篇文章里,我们得到,对于某一P_k>0,有,其中大“O”蕴含的常数的仅与(?)有关,与k无关,它改进了由E·Kr(?)tzel在文[9]中得到的指数11/42.
